Dinámica no-lineal y Caos: Conceptos y Aplicaciones

Sergio Preidikman

Departamento de Estructuras,F.C.F.E y.N. Universidad Nacional de Córdoba

RESUMEN: como lo sugiere el título, este curso corto esta orientado a “recién llegados a” o “principiantes en” la dinámica no-lineal, especialmente a estudiantes que lo toman como su primer curso en esta disciplina. El tratamiento matemático, aunque amigable y muchas veces algo informal, es metódico. Durante el transcurso del curso se hará especial énfasis en métodos de carácter analítico, ejemplos concretos (estos incluyen: vibraciones mecánicas, circuitos eléctricos, osciladores químicos, ritmos biológicos, estallidos de insectos, dinámica de poblaciones, etc.), y en la “intuición geométrica”. La teoría es desarrollada de manera sistemática, comenzando con ecuaciones diferenciales de primer orden y sus bifurcaciones, seguida por el análisis del plano de fase, ciclos limites y sus bifurcaciones, y terminando con las ecuaciones de Lorenz, caos, mapas iterados (“iterated maps”), duplicación de período (“period doubling”), y atractores extraños (“strange attractors”).

Este curso se enfocará en modelos basados en ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs). Las ODEs se caracterizan por tener (en general) solución única si se da un conjunto completo de condiciones iniciales. Si embargo, en el caso general de sistemas dinámicos gobernados por ODEs no-lineales, soluciones “totalmente” determinísticas pueden ser imposibles de predecir (desde un punto de vista práctico) debido a la “sensibilidad” de la solución respecto de las condiciones iniciales. Este exótico fenómeno se conoce como caos.

Un objetivo de este curso es presentar una introducción de los aspectos teóricos y prácticos como así también de las técnicas y de las herramientas que permiten atacar estos problemas. Se hará especial énfasis en como atacar estos problemas con los llamados “Computer Algebra Systems (CAS)”. En particular se utilizarán MATLAB® y MAPLE™ como ejemplos de CAS.

Este curso ha sido concebido poniendo especial énfasis en ejemplos concretos y en el “pensamiento geométrico” de los sistemas dinámicos gobernados por ODEs no-lineales. Cuando sea necesario se presentaran teoremas, sin embrago el interés principal del curso no radica en sus demostraciones sino en mostrar su significado e importancia cuando se los aplica al tratamiento de ejemplos concretos; se tratará de que el estudiante logre adquirir una idea cabal de las técnicas disponibles para resolver problemas en los diferentes tópicos a ser tratados, incluyendo la formulación del problema y la interpretación de resultados. Se hará uso, tanto como sea posible debido a la corta duración del curso, de actividades con uso de la computadora.